$A_i = b_i A_{i-1} - a_i A_{i-2}; \ A_0=b_0; \ A_{-1}=1$.
$B_i = b_i B_{i-1} - a_i B_{i-2}; \ B_0=1; \ B_{-1}=0$.
Escribiremos unha $fctx$ como unha enumeración dos seus coeficientes entre os símbolos da función teito, $\teib{\begin{matrix} - & a_1 & a_2 & a_3 & \ldots\\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & \ldots \end{matrix} }$.
Para transformar unha $fctx$ noutra equivalente pode verse que unha operación sobre $a_i$ ou $b_i$ afecta aos coeficientes $a_i$, $b_i$ e $a_{i+1}$.
(Pódese consultar fracción continua xeneralizada )
Agora co algoritmo da suma por pares podemos transformar calquera serie nunha fracción continua mediante algunha transformación simple, aínda que de escrita engorrosa:
$S= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{u_i} = \frac{1}{u_0} + \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_3} + \cdots = \frac{1}{u_0} + \frac{1}{u_0 \frac{u_1}{u_0}} + \frac{1}{\frac{u_1}{u_0}u_2\frac{u_0}{u_1}} + \frac{1}{\frac{u_2 u_0}{u_1}u_3\frac{u_1}{u_2 u_0}} + \cdots $
E por tanto aplicando o algoritmo por pares (ver Relación entre series infinitas, fraccións continuas teito e constantes. Aplicacións (Parte I) ) temos
$S^{-1}= \teig{ \begin{matrix} - & 1 & 1 & 1 & \ldots\\ u_0 & \tfrac{\tfrac{u_1}{u_0}+ 1}{u_0} & \tfrac{u_0+\tfrac{u_2 u_0}{u_1}}{\tfrac{u_1}{u_0}} & \tfrac{\tfrac{u_1}{u_0}+\tfrac{u_3 u_1}{u_2 u_0}}{\tfrac{u_2u_0}{u_1}} & \ldots \end{matrix} } = \teig{ \begin{matrix} - & u_0^2 & u_1^2 & u_2^2 & \ldots\\ u_0 & u_1 + u_0 & u_2 + u_1 & u_3 + u_2 & \ldots \end{matrix} }$
E esta fracción continua xa foi descuberta por Euler, subpoño que por outro camiño.
Como exemplo podemos ver $\zeta(2)^{-1}= \dfrac{6}{\pi^2} = \teig{ \begin{matrix} - & 1 & 2^4 & 3^4 & \ldots\\ 1 & 2^2 + 1^2 & 3^2 + 2^2 & 4^2 + 3^2& \ldots \end{matrix}} = \teig{ \begin{matrix} - & 1 & 2^4 & 3^4 & \ldots\\ 1 & 5 & 13 & 25& \ldots \end{matrix} }$
Así temos os converxentes $A_i/B_i$
| $a_i$ | $1^4$ | $2^4$ | $3^4$ | $\cdots$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $b_i$ | 1 | 5 | 13 | 25 | $\cdots$ | ||
| $A_i$ | 1 | 1 | 4 | 36 | 576 | $\cdots$ | $(n!)^2$ |
| $B_i$ | 0 | 1 | 5 | 49 | 820 | $\cdots$ | secuencia A001819 na OEIS |
Se sumamos $\dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2}$ do xeito tradicional vemos que dá $\dfrac{205}{144}$ e temos que $\dfrac{820}{576}=\dfrac{205}{144}$, así que simplemente estamos a transformar unha suma de fraccións en dúas sumas de recorrencias.
Se procuramos as fórmulas do numerador e do denominador dos converxentes temos para o numerador $(n!)^2$, e para o denominador a fórmula da OEIS $a_n=s(n+1,2)^2 - 2 s(n+1,1)s(n+1,3)$, onde $s(n,k)$ son os números de Stirling do primeiro tipo (na fórmula da OEIS non indica que deberían ser os números de Stirling do primeiro tipo sen signo, mais as comprobacións e a posíbel demostración sería sen signo, ).
Se calculamos $\zeta(3)^{-1}$ podemos ver que os numeradores son $(n!)^3$ e que os denominadores son secuencia A066989 na OEIS que podemos comprobar que coinciden con $a_n=s(n+1,2)^3 - 3 s(n+1,1)s(n+1,2)s(n+1,3)+3s(n+1,1)^2s(n+1,4)$ (ver Stirling numbers of the first kind ).
Isto parece indicar que $\zeta(s)^{-1}$ pode expresarse como o límite de $(n!)^s$ partido por unha pequena fórmula dos números de Stirling. Apunto este tema para investigar e se dou atopado algunha cousiña interesante farei outra entrada. De momento anoto meter a fórmula cos números de Stirling na A066989 da OEIS.
Series de potencias
Imos ver un exemplo con unha serie de Maclaurin ( Serie de Taylor):
$\ln{(1+x)}= \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n = \dfrac{x}{1} - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots $ e así para $x=\dfrac{1}{2}, \ln{1.5} \approx 0.40 = \dfrac{77}{192} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{64} + \cdots $
Calculamos os converxentes $A_i/B_i$
| $a_i$ | $2^2=4$ | $8^2=64$ | $24^2=576$ | $\cdots$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $b_i$ | 2 | -8+2=-6 | 24-8= 16 | -64 + 24= -40 | $\cdots$ | |
| $A_i$ | 1 | 2 | -16 | -384 | 24576 | $\cdots$ |
| $B_i$ | 0 | 1 | -6 | -160 | 9856 | $\cdots$ |
Non sae un cálculo moi eficiente pois saen cifras moi grandes para unha fracción equivalente $\dfrac{24576}{9856} = \dfrac{192}{77} $.
Expansión de Engel
A expansión de Engel dun número real positivo $x$ é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos $(a_0,a_1,a_2,a_3,\dots)$ tal que $x=\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_0 a_1}+\frac{1}{a_0 a_1 a_2}+\cdots $Por exemplo, o número $e$ ten unha expansión de Engel $1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \ldots$ correspondente á serie infinita $e=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots$ (ver Expansión de Engel)
O cálculo da expansión dun número $x$ sería da forma: $u_1 = x, a_k = \left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil$ e iterar $u_{k+1} = u_k a_k - 1$ onde $\left \lceil r \right \rceil$ é a función teito (o número enteiro máis pequeno maior ou igual a $r$).
Con esa expansión temos na suma por pares $p_i= \{ a_0, a_1, a_0 a_2, a_1 a_3, a_0 a_2 a_4, a_1 a_3 a_4, \ldots \}$ e os coeficientes da $fct$ simple $c_i= \{a_0, \dfrac{a_1+1}{a_0}, \dfrac{a_0(a_2+1)}{a_1}, \dfrac{a_1(a_3+1)}{a_0 a_2} , \dfrac{a_0 a_2(a_4+1)}{a_1 a_3}, \dfrac{a_1 a_3(a_5+1)}{a_0 a_2 a_4}, \ldots \}$
Se pasamos a unha $fctx$ temos: $S^{-1}= \teig{ \begin{matrix} - & a_0 & a_0 a_1 & a_0 a_1 a_2 & & a_0 a_1 a_2 a_3&\ldots \\ a_0 & a_1 + 1 & a_0 (a_2 + 1) & a_1 (a_3 +1) & a_0 a_2 (a_4 +1) & \ldots \end{matrix} } = $
$\teig{ \begin{matrix} - & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 &\ldots\\ a_0 & a_1 + 1 & a_2 + 1 & a_3 + 1 & a_4 + 1 & \ldots \end{matrix} }$
Un exemplo para a expansión de Engel do número $e$ vista anteriormente:
Calculamos os converxentes $A_i/B_i$
| $a_i$ | $1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\cdots$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $b_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | $\cdots$ | |
| $A_i$ | 1 | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | $\cdots$ | n! |
| $B_i$ | 0 | 1 | 2 | 5 | 16 | 65 | 326 | $\cdots$ | secuencia A000522 na OEIS |
así temos que $\dfrac{326}{120} = 2.71$
e como curiosidade os denominadores forman a recorrencia $B_i = n B_{i-1} +1$ que se a metemos en Wolframalpha ( Wolframalpha ) devolve como solución $B_n = e \Gamma (n+1)$ que ten sentido no límite pois $\dfrac{B_n}{A_n} = \dfrac{e \Gamma (n+1)}{n!}=e$.
Series hiperxeométricas
A función hiperxeométrica está definida para $|z| \lt 1$ pola serie de potencias ${}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \dfrac{z^n}{n!} = 1 + \dfrac{ab}{c}\dfrac{z}{1!} + \dfrac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\dfrac{z^2}{2!} + \cdots.$Aquí $(q)_n$ é o Factorial ascendente (símbolo de Pochhammer ascendente), que se define por: $(q)_n = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ q(q+1) \cdots (q+n-1) & n > 0 \end{cases}$ (ver Función hiperxeométrica )
Como temos termos con produtos consecutivos é doado aplicar a suma por pares, de feito aplicando o mesmo criterio da expansión de Engel temos $a_0=1, a_1=\dfrac{c}{abz},a_2=\dfrac{2(c+1)}{(a+1)(b+1)z},a_3=\dfrac{3(c+2)}{(a+2)(b+2)z}, \ldots$ e por tanto a $fctx$:
${}_2F_1(a,b;c;z) =$
$\teig{ \begin{matrix} - & 1 & \frac{c}{abz} & \frac{2(c+1)}{(a+1)(b+1)z} & \frac{3(c+2)}{(a+2)(b+2)z} &\ldots\\ 1 & \frac{c}{abz} + 1 & \frac{2(c+1)}{(a+1)(b+1)z} + 1 & \frac{3(c+2)}{(a+2)(b+2)z} + 1 & \frac{4(c+3)}{(a+3)(b+3)z} + 1 & \ldots \end{matrix} }^{-1}$
Onde o elevado a $-1$ conséguese simplemente invertindo os converxentes, isto é, $\dfrac{B_i}{A_i}$.
Que aínda se pode simplificar máis
${}_2F_1(a,b;c;z) =$
$ \teig{ \begin{matrix} - & abz & c(a+1)(b+1)z & 2(c+1)(a+2)(b+2)z & 3(c+2)(a+3)(b+3)z &\ldots\\ 1 & c+abz & 2(c+1)+(a+1)(b+1)z & 3(c+2)+(a+2)(b+2)z & 4(c+3)+(a+3)(b+3)z & \ldots \end{matrix} }^{-1}$
Podemos ver como exemplo ${}_2F_1(1,1;2; -z=-1) = \dfrac{\ln(1+z)}{z} \mbox{ para } z=1, \ln(2)$.
$\teig{ \begin{matrix} - & 1 & -2 & -\frac{3}{2} & -\frac{4}{3}&\ldots\\ 1 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{4} & \ldots \end{matrix} } = \teig{ \begin{matrix} - & 1 & -2^2 & - 3^2 & -4^2& -5^2& \ldots\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \ldots \end{matrix} }$
Lembrando que para simplificar termos están afectados $a_i, b_i, a_{i+1}$.
E agora calculamos os converxentes
| $a_i$ | $1$ | $-2^2$ | $-3^2$ | $-4^2$ | $-5^2$ | $-6^2$ | $\cdots$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $b_i$ | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | $\cdots$ | |
| $A_i$ | 1 | 1 | -2 | 6 | -24 | 120 | -720 | $\cdots$ | n! |
| $B_i$ | 0 | 1 | -1 | 5 | -14 | 94 | -444 | $\cdots$ | secuencia A024167 na OEIS |
no quinto termo temos $\dfrac{-444}{-720} = 0.61$ unha converxencia lenta cara a $\ln(2)\approx 0.69$.
Series hiperxeométricas e fracción continua de Gauss
Un resultado relacionado co Teorema da suma por pares para as $fct$ (ver Relación entre series infinitas, fraccións continuas teito e constantes. Aplicacións (Parte I)) é a fracción continua de Gauss que estabelece unha fracción continua para a división de dúas series hiperxeométricas.( ver Gauss's continued fraction))Aquí hai que mencionar que as funcións hiperxeométricas xeneralízanse para calquera número de parámetros e así por exemplo a función ${}_0F_1(c; z)$ tería só un parámetro no denominador "c" e non tería os dous do numerador (nen "a" nen "b") o número á esquerda embaixo na $F$ serían os parámetros de factorial ascendente do numerador e o de embaixo na dereita serían os do denominador.
Como un exemplo da fracción continua de Gauss podemos ver o caso típico entre dúas de tipo ${}_2F_1(a,b;c;z)$:
$ \dfrac{ {}_2F_1(a+1,b;c+1;z)} { {}_2F_1(a+1,b;c+1;z)} = $ $ \bigg[ \begin{matrix} + & \frac{(a-c)b}{c(c+1)}z&\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}z) &\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}z & \frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}z& \ldots\\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots \end{matrix} \bigg]^{-1} $
Apuntamos que esta fracción continua xeneralizada é a ordinaria, ten o signo máis entre as súas fraccións (non é teito). E tamén que o resultado é unha recíproca (elevado a $-1$). (en Mathworld Mathworld Gauss's continued fraction dan a solución con recorrencia negativa, isto é, como fracción continua teito)
Para finalizar unha integral
A función erro definida como integral e con solución como función hiperxeométrica sería:$\operatorname{erf(z)} = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_{0}^{z}e^{-t^2} dt = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} M\big(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2},-z^2 \big)$
onde $M \big(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2},-z^2 \big)$ é a función hiperxeométrica confluente , que é igual a unha función ${}_1F_1$ que só ten un parámetro no numerador e outro no denominador, neste caso ${}_1F_1\big(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2},-z^2 \big)$.
Un exemplo numérico por exemplo para $z=1$ temos:
| $a_i$ | $-1$ | $-9$ | $-50$ | $-147$ | $\cdots$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $b_i$ | 1 | 2 | 7 | 16 | 29 | $\cdots$ | ||
| $A_i$ | 1 | 1 | 3 | 30 | 630 | 22680 | $\cdots$ | $\dfrac{(2n+1)!}{2^n}$ (A007019 na OEIS) |
| $B_i$ | 0 | 1 | 2 | 23 | 468 | 16953 | $\cdots$ |
$ \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-t^2} \approx \dfrac{16953}{22680} \approx 0.747486$.
